伴随矩阵(如何求矩阵的伴随矩阵) – mm一族第二季-奥比岛夜间版

在矩阵运算中，伴随矩阵是一个非常重要的概念。它能够用于求解矩阵的逆矩阵，进而帮助解决很多实际问题。那么什么是伴随矩阵？如何求矩阵的伴随矩阵呢？本文将为您详细解答。

伴随矩阵的定义

伴随矩阵是指将一个方阵的每个元素替换为它的代数余子式后所构成的矩阵的转置矩阵。代数余子式是指矩阵中每个元素的代数余数。例如，对于一个3阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)：

$\begin{aligned} \adj(A) & = \left[ A_{ij} \right]^{\mathrm{T}} \\ & = \left[ C_{ji} \right] \end{aligned}$

矩阵的伴随矩阵的求解

对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵可以通过以下步骤求解：

Step1：求出矩阵A的每个元素的代数余子式

对于矩阵A的第i行第j列元素A_ij，它的代数余子式记作A_ij*。它的值等于将A中第i行和第j列删去后所得的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以(-1)^i+j。例如，一个3阶矩阵A的第2行第3列的代数余子式为A₂₃* = (-1)⁵ |ε₁₂₃|。

Step2：根据代数余子式构造伴随矩阵

对于矩阵A的每个元素的代数余子式，按照其位置构造一个新的矩阵C，即：

$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1}\\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

这样得到的矩阵C就是矩阵A的伴随矩阵。

伴随矩阵的应用

伴随矩阵在矩阵运算中有着重要的应用。例如，对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵A^-1可以用矩阵的伴随矩阵求解：

$A^{-1} = \frac{1}{\left| A \right|} \cdot \operatorname{adj}(A)$

其中|A|表示矩阵A的行列式。这个公式称为矩阵求逆公式。

结尾

伴随矩阵是一种非常有用的概念，在矩阵求逆等问题中发挥着重要作用。掌握矩阵的伴随矩阵的求解方法可以让我们更好地理解矩阵运算，解决实际问题。希望本文对您有所帮助。